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算术化

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引子本系列的第一篇著述(https://www.8btc.com/article/512859),则以Zk snark公司做对照,分手从见地和算法经由上,做了轮廓性的先容。提倡在阅读本篇著述之前,先阅读下等一篇著述的内容。本篇著

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引子 本系列的第一篇著述(https://www.8btc.com/article/512859),则以Zk snark公司做对照,分手从见地和算法经由上,做了轮廓性的先容。提倡在阅读本篇著述之前,先阅读下等一篇著述的内容。本篇著述,让咱们由表及里,一道踏上探索Zk斯塔克算法神秘的路径。 追念 在第一篇的著述中讲到,Zk斯塔克算法大体不错分为两个部分:算术化和 低度测试本篇咱们先珍爱先容算法的第一阶段算术化

算术化的合座门径如下图所示:

那什么是算术化具体过程又是什么呢?带着这些疑问,让咱们仔细的品尝著述背面的内容。

领先,什么是算术化

算术化便是把CI声明转换成淡雅的代数言语的过程,此门径有两个主义:第一,把CI声明以直爽显然的容颜呈现出来;第二,把CI声明镶嵌到代数域,为背面多项式的改换做铺垫。算术化暗示主要由两部分组成:第一,现实轨迹(图中橙色部分);第二,多项式敛迹(图中灰色部分)。现实轨迹是一个表,表的每一滑代表一个单步的运算;多项式敛迹的构造是和现实轨迹相得益彰的,即面前仅当现实轨迹是正确的,多项式敛迹会骄矜现实轨迹的每一滑谋划。终末把现实轨迹和多项式敛迹迎合组成一个笃定的多项式,然后对多项式进行LDT公司考证。至此,考证CI声明的问题改换成了考证笃定性多项式LDT公司的问题。 算术化 知晓了算术化的合座经由,接下来,咱们联络下具体的过程。为了便于意会,咱们用一个简单的例子,来聚会通盘这个词算术化的过程。

每个人都去过超市,一般超市的收条的内容如下:

当今,好莱坞人气演员高下快速迁徙宣称:咱们在超市应该支付的总金额谋划正确那若何考证呢?其实很简单,这时另一个气人演员爱丽丝只消对着收条,每一项累加乞降就不错完成考证。那么,这只是一个很简单的例子,事实上,爱丽丝只需要5.步,就不错完成考证过程。试想这么一个场景:毕竟高下快速迁徙很有钱,在超市买了1000000样东西,通常,他又宣称:咱们在超市应该支付的总金额谋划正确这手艺,爱丽丝确凿不悦了,这若何考证,按照之前的办法,得约莫要算1000000步,闹呢?谁爱干谁干。高下快速迁徙心里也可爱爱丽丝毕竟那么多年了。心想,有莫得什么牛掰的办法能让爱丽丝用很少的门径,就能深信我说的是对的呢?于是,高下快速迁徙开动了最刚劲脑模式。

底下,让咱们用上头简单的例子,跟班高下快速迁徙去寻找这个牛掰的办法。

高下快速迁徙心想,你未便是考证最终的总额对不合么?那我就把总额的谋划过程列出来,我保证每次的累加都对,那么我最终的效果一定亦然对的。于是高下快速迁徙在收条上新增了一列,用来保存谋划总额过程中的中间值(图中橙棕色部分标注),这便是现实轨迹(图1.中的橙色部分)。新增的一列值需要骄矜,运转换的值为0个(图2.中黄色部分)、最终的值和要付的总额高出(图2.中黄色部分)、中间的每一个值都要等于上一个值加上上一滑物品的单价(图2.中红线部分),这组成了多项式敛迹(图1.灰色部分,图2.左下角部分)。

从图2.不错看出: 多项式敛迹统共有3.个,两个是规模敛迹(多项式索引1&;3) ,则一个是轮回敛迹(多项式索引2) 多项式的大小和现实轨迹的谜底小没关联络,即表格的长度即使扩大到1000000最终的多项式敛迹仍是这三个,唯独变化的是变量x个的取值鸿沟辛苦。 在这里,借用五、神的话来姿色一下Zk斯塔克:Zk斯塔克不是一个笃定性的算法,它是一大类密码和数学结构,关于不同的哄骗,具有不同的最优设置。不错意会为,关于不同的问题,具有不同的算术化的有料想打算(在本例中,是加一列值,在其他案例中就不一定适用了),因此要做到具体问题具体分析。关联词有一个共同主义便是,岂论是什么问题,取得的现实轨迹最佳是用一个回路就不错暗示,这么取得的多项式敛迹也就最为直爽。多项式敛迹的个数和神气径直影响到了把柄的大小和Zk斯塔克算法的性能,因此,寻找一个最优的设置关于Zk斯塔克算法显得尤为遑急。

转头到主题,当今高下快速迁徙依然取得了多项式敛迹和现实轨迹,那么如何把它们改换成一个笃定的多项式呢?请看下图:(蓝色箭头代表主经由,红色箭头代表分支)

鲍勃领先把温文点切到现实轨迹,不错看到现实轨迹有2.列,一列是单项价钱,一列是价钱总额,咱们分手对两列的元素进行拉格朗日插值,取得两个函数 f(x),w(x),0≤x个≤5.分手对两个函数进行域推广,取得了在更多的点上的评估,即f(x),w(x),0≤x个≤10000个(从多项式插值,到域推广,这其实便是Reed Solomen公司的编码过程,它不错罢了,原始数据哪怕有一处各异,取得的码字会大不相通;主要主义用于防卫讲明者犯法,加入讲明者犯法,会使得考证者很容易发现)。

然后,高下快速迁徙把f(x),w(x)和多项式敛迹等式迎合,取得一组的确的多项式敛迹(图中红色圈2.所示),以轮回敛迹多项式为例:

1≤ x个≤ 5 w(x)-f(x-1)-w(x-1)=0(1)

令Q(x)=w(x)-f(x-1)-w(x-1)则有Q(1)=0、Q(2)=0、Q(3)=0、Q(4)=0、Q(5)=0

根据已知县实,度为d的多项式H(x)在x=n处为0则存在一个度为d-1的多项式H`(x)骄矜 d(H`(x))=d(H(x))-1&;&安培;H(x)=H`(x)*(x-n)

因此关于Q(x)度为5.存在一个多项式ψ(x)度为0即常量,骄矜Q(x)=ψ(x)*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)令主义多项式T(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)度为5.则有:

Q(x)=ψ(x)*T(x)(2)

考证者爱丽丝从0≤x个≤10000赶紧聘用少许一发送给讲明者高下快速迁徙要求高下快速迁徙复返相应的值,以公式(2)为例,高下快速迁徙需要复返w(a)、w(a-1)、f(a-1)、ψ(a)然后爱丽丝判断等式是否修复,即:

w(a)-f(a-1)-w(a-1)=ψ(a)*T(a)(3)

若是等式修复,则爱丽丝大要率信托现实轨迹是正确的,那么原始谋划修复。假如考证者高下快速迁徙犯法,讲表格中的4.98改成5.98把,那么Q(1)=w(1)-w(0)-f(0)=5.98-0-4.98=1不等于0在这种情况下,细察公式(2) ,则等式右边为Q(x)度为5,x=1不是零点;等式右侧ψ(x)*T(x)令G(x)=ψ(x)*T(x)度为5.因为T(x)在x=1处是零点,是以G(x)在x=1处亦然0点,因此,等式双方本色上是度高出的不同多项式,其交点最多为5.个,因此在0≤x个≤10000鸿沟内,唯有5.个值高出,9995值是不等的,因此赶紧的从0≤x个≤10000中聘用一个值,考证欠亨过的概率是99.95%若是域推广的鸿沟更大,则考证欠亨过的概率将会更接近于1.按照通常的逻辑,分手处分规模敛迹多项式,取得的效果如图所示(图中红色圈3.所示)。

底下,咱们讲联络如何增多零常识属性。

关于讲明者高下快速迁徙来讲,现实轨迹是不但愿被考证者爱丽丝看到的,因为它会包含一些遑急的信息,因此,铁心考证者爱丽丝只可从6.≤x个≤10000鸿沟内赶紧聘用一个值,进行考证,诚然这种铁心,双方都是应允的。

存在这么一类问题。当考证者爱丽丝收到讲明者高下快速迁徙响应的值时,如何保证这些值是正当的,确乎是通过多项式的神气谋划,而且这些多项式是小于某个度的,而不是讲明者高下快速迁徙只是为了考证通过,而生成的赶紧值?比如如何确保w(a)、w(a-1)、f(a-1)、ψ(a)是多项式w(x)、f(x)、ψ(x)分手在x=a&;&安培;x=a-1上的取值呢,且多项式w(x)、f(x)、ψ(x)的度小于某个固定值的呢?这些问题将不才一篇著述中给出谜底,在此之前,不如先联络一下,为何多项式的度小于某个固定值就能讲明原始现实轨迹式正确的呢?

从以上的例子中,不错看出,当且仅当现实轨迹是正确的手艺,Q(x)才会在x个取值为 1、 2、3、4、5时,等于0那么Q(x)才不错被主义多项式T(x)整除,即:ψ(x)=Q(x)/T(x),d(ψ(x))=d(Q(x))-5

从图3.不错看出,需要考证的多项式的个数时5.个(红色圈4.所示),若是对每一个多项式都进行LDT那么奢靡是很庞大的,因此,不错通过将这些多项式进行线性组合(红色圈5.所示),当且仅当每个多项式都骄矜小于某个度时,其线性组合后的多项式亦然小于某个度的,这个要求时充分的,具体的细节见后续的系列章节。

接待月旦指正,谢谢!! 附录 1.官方先容文档:https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

2。官方先容文档:https://medium.com/starkware/arithmetization-ii-403c3b3f4355

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